Paradoja de Aquiles y la tortuga (Zenon de Elea, 490-430 A.C): Aquiles persigue una tortuga y, aunque corre bastante más rápido que ésta, nunca podrá alcanzarla. El argumento es como sigue: la tortuga se encuentra inicialmente en un punto P; cuando Aquiles llega a P, entonces la tortuga ya no se encuentra en P, sino en P´; cuando Aquiles llega a P´, ella ya está en un nuevo punto P´´; y así sucesivamente. Por lo tanto, nunca la alcanzará. ¿Dónde está el error en el razonamiento?

muy importante en probabilidad (en relación con la distribución normal), son especialmente fáciles de calcular mediante las técnicas de integración que utilizan números complejos (métodos de residuos). El Análisis Matemático IV también se ocupa de los espacios funcionales surgidos, a principios del siglo XX, por la necesidad de desarrollar métodos generales para las ecuaciones de la física matemática, de las que sólo sabían resolverse casos especiales. Al suponer que la solución de una ecuación diferencial lineal ordinaria es la suma de infinitos sumandos de la forma a_nxⁿ  (es decir, una seriede potencias), el problema se reduce a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales con infinitas incógnitas (los coeficientes a_n). Tales sistemas fueron resueltos, con cierto atrevimiento, con ayuda de los métodos del álgebra lineal. Procediendo de esta manera los matemáticos se dieron cuenta de que problemas de apariencia distinta podían ser reducidos a un mismo modelo. De esta forma, por abstracción, se originaron los principios fundamentales del análisis funcional. Las funciones se interpretan ahora como elementos -o puntos- de un cierto espacio que está dotado de una estructura algebraica (generalmente de espacio vectorial) y de una estructura topológica (que establece una relación de proximidad entre sus elementos), mientras que las ecuaciones se formulan, en este contexto, en términos de aplicaciones entre tales espacios.

Muchas ecuaciones de la física matemática estudiadas en Análisis Matemático V (de 5º curso) se formulan mediante derivadas parciales (respecto de las variables independientes) de la función desconocida y se resuelven, en ocasiones, descomponiendo la incógnita en series (sumas innifinitas) de las variables independientes. Las series más interesantes son las de potencias (antes mencionadas) y las de Fourier, cuyos sumandos son de la forma a_n cos nx + b_n sen nx. Dado el carácter periódico de tales sumas (cuyo valor se repite al sumar a x múltiplos de 2&pi), las series de Fourier se aplican allí donde surgen procesos oscilantes, como ocurre en las series temporales de naturaleza económica, en electrónica, en acústica o en óptica. Los problemas teóricos relacionados con la convergencia de las series de Fourier han impulsado avances fundamentales en distintos ámbitos de las matemáticas y siguen siendo considerados hoy como problemas muy difíciles.

En Geometría y Topología I y en su Ampliación (asignaturas de 2º curso) se aplica el álgebra lineal y el cálculo diferencial al estudio de las transformaciones en el plano y en el espacio, de las curvas y de las superficies (incluyendo cónicas y cuádricas). También proporcionan una aproximación a los espacios topológicos generales (que son, recordémoslo, conjuntos dotados de cierta estructura de proximidad que permite hablar de límite) a través del estudio de los espacios métricos. Tales espacios tienen muchas propiedades comunes con el plano y el espacio de la intuición, y permiten un tratamiento geométrico de importantes espacios funcionales (como el de Hadamard, cuyos elementos son las funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado dado). Las versiones abstractas de ambas materias (geometría en variedades y topología general) son el objeto de Geometría y Topología II (de 5º curso).

Las curvas de la vida: Según Galileo, "el libro de la naturaleza" está escrito en lenguaje matemático. Las espiras de la concha del ammonites aumentan su anchura de acuerdo con un factor constante. En palabras de Leonardo de Vinci, "estas criaturas expanden su casa y su techo gradualmente, en proporción, conforme crece su cuerpo manteniéndose pegado a los lados de la concha". Esta es precisamente la propiedad que caracteriza a la espiral logarítmica descubierta por Arquímedes.

El Cálculo de Probabilidades y su Ampliación (ambas de 1º) permiten ordenar los sucesos asociados con los fenómenos aleatorios de acuerdo con las frecuencias relativas que pueden esperarse al repetir el correspondiente experimento. Esta introducción al cálculo de probabilidades fundamenta la Estadística y su Ampliación (ambas de 3º), así como Series Temporales (4º) y Métodos Econométricos (5º). Además, facilitan la comprensión de los conceptos abstractos de Teoría de la Medida e Integración (optativa de 5º). Estas últimas teorías no sólo poseen innumerables aplicaciones al análisis matemático, sino que fundamentan la teoría de la probabilidad y la estadística matemática.